Este es el primero de una serie de posts en los que intentaré explicar qué es la gravedad, cómo encaja en el modelo actual del universo, para así poder hablar de singularidades gravitacionales. Lógicamente no pretendo escribir posts muy técnicos ya que requeriría un nivel matemático bastante alto, que a nivel divulgativo me parece inabarcable.

Introducción

Para poder hablar de la Relatividad General (Einstein, 1915), vamos a hablar primero del concepto gravitatorio no relativista. Isaac Newton fue el primero en formular una teoría de gravitación; afirmó que todo objeto que posee masa ejerce una atracción gravitatoria sobre cualquier otro objeto con masa, más allá de la distancia existente entre ambos. A mayor masa, mayor fuerza de atracción; por otra parte, a mayor cercanía entre los objetos, mayor fuerza de atracción. Esta es la conocida historia de que se le cayó una manzana en la cabeza y tuvo un momento loco que le dio por pensar en por qué se caían las cosas al suelo.

Esta gravitación newtoniana estaba muy bien en la Tierra. Pero cuando ya nos salíamos al espacio, había cosas que no cuadraban. En primer lugar la ley de Newton aplicada a un sistema de dos partículas o dos cuerpos, cuyas dimensiones físicas son pequeñas comparadas con las distancias entre ellos, lleva a que ambos cuerpos describirán una curva cónica (elipse, parábola o hipérbola) respecto a un sistema de referencia inercial con origen en el centro de masa del sistema, que además coincidirá con uno de los focos de la cónica.  Esto quedó solucionado con las leyes de Kepler. En segundo lugar, y derivado de esto, apareció el problema de los tres cuerpos: de acuerdo con la descripción newtoniana, cuando se mueven tres cuerpos bajo la acción de su campo gravitatorio mutuo, como el sistema Sol-Tierra-Luna, la fuerza sobre cada cuerpo es justamente la suma vectorial de las fuerzas gravitatorias ejercidas por los otros dos. Así las ecuaciones de movimiento son fáciles de escribir pero difíciles de resolver ya que no son lineales. De hecho, es bien conocido que la dinámica del problema de los tres cuerpos de la mecánica clásica es una dinámica caótica.

El dilema con Mercurio

La primera evidencia científica de que la teoría de Newton no funcionaba fue el planeta Mercurio, el más cercano al Sol. Cuando los astrónomos usaron su fórmula para calcular su órbita alrededor del Sol, y su posición aparente en el cielo, visto desde la Tierra, y compararon esos cálculos con las observaciones, encontraron que eran casi iguales, pero había una pequeña diferencia en la posición real de Mercurio: cada año parecía cambiar su posición (medida en el instante de su máximo acercamiento al Sol) un ángulo muy pequeño, de 5,75 segundos de arco (“) o el ángulo con el que se vería una moneda de 1 Euro a un km de distancia. Aunque parezca un error extremadamente pequeño, el tamaño no importa, los cálculos eran muy precisos como para aceptar un error así. Para salir del paso, propusieron que Mercurio además era atraído por los otros planetas más grandes, y eso era lo que deformaba la órbita. Así que calcularon ,usando siempre la teoría de Newton, la posición de Mercurio, teniendo ahora en cuenta todos los cuerpos del Sistema Solar, y, efectivamente, encontraron que, de los 5,75″ de error anual, podían explicar 5,32” por la influencia gravitatoria de los otros planetas. Esto era casi perfecto… pero aún no era exacto. La diferencia (0,43″/año) entre la posición calculada para Mercurio y la observada era ahora más pequeña (el ángulo con el que se vería la moneda de 1 Euro a 12 km) pero ahí estaba. Era un error pequeño pero inquietante: ¿por qué no funcionaba exactamente la teoría de Newton con Mercurio, cuando sí parecía funcionar con todos los demás planetas?

Einstein al rescate

Realmente Einstein no formuló la Relatividad General motivado por Mercurio, pero lo importante es que lo hizo. Para seguir la línea de razonamiento de Einstein, primero tenemos que recordar (o mencionar si no lo conocéis) que su teoría de la relatividad especial parte de que nada puede propagarse más rápido que la luz. En segundo lugar, vamos a pensar como lo haría Einstein (no en alemán, sino siguiendo un razonamiento similar). Sabemos que el Sol nos envía luz y que esta luz viaja a 300.000 km/s, así que tarda unos 8 minutos en recorrer los 150 millones de km que separan el Sol de la Tierra: la luz nos llega 8 minutos después de salir de nuestra estrella. Imaginemos ahora que el Sol desaparece de repente, que instantáneamente se volatiliza. Si así fuera, aún tendríamos 8 minutos de luz en la Tierra antes de que empezara la oscuridad. Ocho minutos no es mucho, pero es algo: coged un cronómetro y poned 8 minutos, e imaginad que durante todo ese tiempo el Sol ya no existe: aunque vemos su luz y su imagen en el cielo, el Sol ya no está ahí. Einstein ya sabía todo esto, no le preocupaba ese retraso de 8 minutos en la luz. Lo que le preocupó, y mucho, fue darse cuenta que, si el Sol ya no estaba ahí, entonces tampoco atraería a la Tierra (ni a los demás planetas). O sea, la Tierra ya no sufriría la atracción gravitatoria del Sol, ya no giraría en torno a él; se iría por la tangente de su órbita, igual que sale disparada una piedra de una honda cuando soltamos de repente la cuerda. Y lo importante es que esta salida de órbita de la Tierra, si es correcta la teoría de Newton de que la gravedad es instantánea, ocurriría inmediatamente, sin ningún retraso, ni de 8 minutos ni de nada. Esto chocaba frontalmente con la relatividad de Einstein: era un contrasentido. Una información -la luz- viajaría a 300.000 km/s, mientras que otra información -la gravitacional- viajaría con velocidad infinita, y ambas informaciones estarían originadas por el mismo fenómeno, la desaparición instantánea del Sol. O bien su teoría de la relatividad especial no era correcta (y había cosas que sí podían ir más rápido que la luz, con velocidad infinita, de hecho) o bien la teoría de Newton de fuerza instantánea no era correcta.

Einstein se vio obligado a revisar la ley de la gravitación de Newton porque no quería abandonar su teoría de la relatividad. Así que ¿por dónde empezar? Dado que el problema era conceptual, empezó por replantearse otro concepto diferente (y no se preocupó, de nuevo, por la discrepancia observacional en la posición de Mercurio). Ese concepto era el del llamado observador inercial, es decir, el del observador sobre el cual no actúa ninguna fuerza. Pero, pensó, ¿puede existir realmente un observador sobre el que no actúe ninguna fuerza? En el universo hay muchísimos astros (planetas, estrellas, galaxias…) y además la fuerza de la gravedad tiene radio de acción infinito, o sea, aunque la distancia se haga muy grande, siempre vale algo (Fd^-2). La fuerza sólo se hace estrictamente cero cuando la distancia es infinita. Por tanto, la definición de observador inercial es irrealizable en la práctica. Pero lo malo para Einstein era que esto resultaba un serio problema tanto para la teoría de Newton como para la suya de la relatividad especial, donde los observadores inerciales son el punto de partida. El dilema se complicaba más aún, pero Einstein encontró una salida ingeniosa a estos problemas con su teoría de la relatividad general.

Teoría de la Relatividad General

La genial idea de Einstein fue suponer que la gravedad (que está por todos los lados y en todo momento en el universo) está íntimamente unida al espacio y al tiempo (que obviamente están también por todos lados del universo y en todo instante). Propuso que el nexo de unión era la geometría: lo que ocurre, dice Einstein, es que, en presencia de una masa, el espacio-tiempo se “deforma”, de modo que cualquier otra masa nota ese espacio deformado, y se ve obligada a seguir trayectorias diferentes a cuando estaba el espacio sin deformar (sin ninguna masa). ¿Qué significa la deformación del espacio? Significa que el espacio adquiere una geometría diferente de la que estamos habituados (el llamado espacio plano o euclidiano).

En un espacio no-euclidiano ocurren cosas muy diferentes al normal; por ejemplo, puede que la línea más corta entre dos puntos sea una curva (y no una recta, como en el espacio plano). Puede que dos paralelas se corten en un punto o en infinitos puntos. Sé que esto puede parecer una locura, pero pensemos un momento en una pelota, un balón o un globo terŕáqueo, lo que queráis con forma de esfera vale, incluso un vaso (siempre que sea curvo). Si señalamos dos puntos lejanos distintos (por ejemplo España y Australia), el camino más corto será el arco de círculo máximo que una los dos puntos, no una recta. La recta euclidiana cruzaría por dentro la esfera, y se saldría del espacio que consideramos. Lo que quiere decir que la distancia más corta entre dos puntos en un espacio curvo es una curva también, llamada geodésica o recta generalizada para ese espacio curvo.

Ahora voy a aclarar a lo que nos referimos cuando hablamos de espacio-tiempo. Para describir el universo necesitamos las tres dimensiones a las que estamos habituados, además de la dimensión temporal. Esto puede ser muy complicado de entender sin aplicar matemáticas avanzadas. Para ello, vamos a intentar pensar en el típico gráfico 3D donde el eje Z será el tiempo, y los otros dos cualquiera de las dos dimensiones espaciales.

Si colocamos el Sol en el centro de nuestro eje, e intentamos dibujar la órbita de la Tierra con el paso del tiempo (dado que el tiempo aumenta monótonamente, constante, tic-tac), la trayectoria de la tierra será una hélice regular.

Lo importante aquí es ver que el gráfico que queda, la hélice, es una curva. Einstein observó que en nuestro universo no hay líneas rectas cuando actúa la gravedad, sino que tiene una geometría no-euclidiana y los cuerpos siguen geodésicas. Es decir, las masas, la gravedad, deforman el espacio-tiempo.

Resumiendo: desde el punto de vista de Newton, la Tierra sigue una trayectoria en el espacio euclidiano en forma de elipse (por cierto, es casi una circunferencia) alrededor del Sol. Desde el punto de vista de Einstein, la Tierra sigue la trayectoria más corta posible (una geodésica o “recta” generalizada) en un espacio-tiempo que ya no es euclidiano porque ha sido deformado por la masa del Sol.

Einstein, con su idea de conectar la gravedad con la geometría, cambió drásticamente el concepto de interacción gravitatoria. La gravedad ya no es una fuerza sino una deformación del espacio-tiempo. De paso, cambió ligeramente la fórmula de la gravitación de Newton, de modo que su teoría explica perfectamente (o sea, hasta la precisión a la que somos capaces de medir) todos los experimentos y las observaciones astronómicas, incluida la discrepancia de la órbita de Mercurio.

Para entender esta deformación, vamos a pensar por un momento en un colchón. ¿Qué pasa si pellizcamos el centro? Atraemos la masa de alrededor hacia la zona del pellizco. En la siguiente imagen vemos cómo actúa la Tierra en la Geometría del espacio-tiempo.

¿Por qué se sigue usando la gravedad de Newton?

Tardamos tanto en darnos cuenta de que no funcionaba porque los cálculos astronómicos en nuestro Sistema Solar, con las leyes de Newton eran muy certeros. Esto sucede porque el Sol apenas deforma el espacio-tiempo, nuestro Sistema Solar es una zona de gravedad débil, y todos los experimentos dan los mismos resultados usando Newton o Einsten. Salvo Mercurio.

 Mercurio es el único planeta que se ve realmente afectado por la deformación del espacio por un motivo, porque es el más cercano al Sol (y también el que tiene la órbita más excéntrica).

Las ecuaciones de Newton se siguen utilizando, entonces, porque en primer lugar son mucho (de verdad, MUCHO) más fáciles de resolver que las de Einstein. Y en segundo lugar por lo ya mencionado arriba, que en zonas de gravedad débil producen los mismos resultados (sólo en estas zonas).

Y entonces, ¿la gravedad afecta al tiempo?

Sí, la paradoja de los gemelos de la relatividad especial de Einstein es muy conocida: dos gemelos terrestres sincronizan sus relojes, uno se va durante un tiempo a viajar por el espacio a la velocidad de la luz y el otro se queda en la Tierra. Cuando el gemelo viajero vuelve, ve que no ha envejecido, y que su hermano, sin embargo, ha envejecido muchos años. Esto se debe a que el tiempo se ralentiza a velocidades cercanas a la de la luz.

Pero ahora hablamos de deformarse en presencia de una masa. ¿Se deforma? Sí. De hecho si colocamos un reloj a nivel del mar, y otro en la estación espacial internacional (que orbita a unos 550km de la Tierra), podemos observar cómo el reloj a nivel del mar va más despacio que el reloj de la estación espacial. Es decir, el tiempo también se curva en presencia de una masa, otro punto más para Einstein, y otra prueba más de que la dimensión temporal y las espaciales tienen la misma naturaleza.